Przejdź do treści

Całkowanie numeryczne

Opis problemu

Metoda prostokątów

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
def f(x: float) -> float:
    return x * x + 2 * x

def rectangles_method(a: int, b: int, n: int) -> float:
    rectangle_width = (b - a) / n
    area = 0
    current_point = a

    for i in range(n):
        current_point += rectangle_width
        rectangle_height = f(current_point)
        area += rectangle_height * rectangle_width

    return area

a = 0
b = 10
n = 100
area = rectangles_method(a, b, n)
print(area)

Opis implementacji

Funkcja f (linia 1) przyjmuje jeden parametr rzeczywisty i jako wynik zwraca liczbę rzeczywistą. Funkcja ta symuluje funkcję matematyczną, której pole pod wykresem chcemy policzyć.

Funkcja rectangles_method (linia 5) realizuje algorytm całkowania numerycznego metodą prostokątów i przyjmuje trzy parametry: początek przedziału (a), koniec przedziału (b) oraz liczbę prostokątów (n). Funkcja jako wynik zwraca liczbę rzeczywistą reprezentującą przybliżenie pola pod wykresem funkcji \(f(x)=x^2+2x\) na przedziale \(<a, b>\). Wewnątrz funkcji zaczynamy od policzenia szerokości jednego prostokąta, dzieląc długość przedziału przez liczbę prostokątów (linia 6). Następnie tworzymy zmienną do zapamiętania obliczanego pola (linia 7) oraz zmienną do zapamiętania obecnej pozycji na osi \(x\) (linia 8). W następnej kolejności przechodzimy pętlą \(n\) razy (linia 10). Wewnątrz pętli przesuwamy obecną pozycję na osi \(x\) w prawo o szerokość jednego prostokąta (linia 11). Następnie obliczamy wysokość prostokąta w obecnym punkcie poprzez obliczenie wartości funkcji w tym miejscu (linia 12). Obliczoną wysokość wykorzystujemy do policzenia pola obecnego prostokąta i dodania go do zliczanego pola pod wykresem funkcji (linia 13). Na koniec funkcji, po wyjściu z pętli, zwracamy obliczone pole pod wykresem funkcji (linia 15).

W części głównej programu przygotowujemy dane do naszego algorytmu: początek przedziału (linia 18), koniec przedziału (linia 19) oraz liczbę prostokątów (linia 20). Następnie wywołujemy funkcję rectangles_method z przygotowanymi danymi, a jej wynik zapisujemy w zmiennej area (linia 21). Na koniec wypisujemy wynik na ekranie (linia 22).

Metoda trapezów

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
def f(x: float) -> float:
    return x * x + 2 * x

def trapezes_method(a: int, b: int, n: int) -> float:
    trapeze_height = (b - a) / n
    area = 0
    current_point = a

    for i in range(n):
        trapeze_first_side = f(current_point)
        current_point += trapeze_height
        trapeze_second_side = f(current_point)
        area += ((trapeze_first_side + trapeze_second_side) * trapeze_height) / 2

    return area

a = 0
b = 10
n = 100
area = trapezes_method(a, b, n)
print(area)

Opis implementacji

Funkcja f (linia 1) przyjmuje jeden parametr rzeczywisty i jako wynik zwraca liczbę rzeczywistą. Funkcja ta symuluje funkcję matematyczną, której pole pod wykresem chcemy policzyć.

Funkcja trapezes_method (linia 5) realizuje algorytm całkowania numerycznego metodą trapezów i przyjmuje trzy parametry: początek przedziału (a), koniec przedziału (b) oraz liczbę trapezów (n). Funkcja jako wynik zwraca liczbę rzeczywistą reprezentującą przybliżenie pola pod wykresem funkcji \(f(x)=x^2+2x\) na przedziale \(<a, b>\). Wewnątrz funkcji zaczynamy od policzenia wysokości jednego trapezu, dzieląc długość przedziału przez liczbę trapezów (linia 6). Następnie tworzymy zmienną do zapamiętania obliczanego pola (linia 7) oraz zmienną do zapamiętania obecnej pozycji na osi \(x\) (linia 8). W następnej kolejności przechodzimy pętlą \(n\) razy (linia 10). Wewnątrz pętli obliczamy długość pierwszej podstawy trapezu (linia 11), a następnie przesuwamy obecną pozycję na osi \(x\) w prawo o wysokość jednego trapezu (linia 12). Następnie obliczamy długość drugiej podstawy trapezu w obecnym punkcie poprzez obliczenie wartości funkcji w tym miejscu (linia 13). Obliczone długości podstaw wykorzystujemy do policzenia pola obecnego trapezu i dodania go do zliczanego pola pod wykresem funkcji (linia 14). Na koniec funkcji, po wyjściu z pętli, zwracamy obliczone pole pod wykresem funkcji (linia 16).

W części głównej programu przygotowujemy dane do naszego algorytmu: początek przedziału (linia 19), koniec przedziału (linia 20) oraz liczbę prostokątów (linia 21). Następnie wywołujemy funkcję trapezes_method z przygotowanymi danymi, a jej wynik zapisujemy w zmiennej area (linia 22). Na koniec wypisujemy wynik na ekranie (linia 23).