Zapis zmiennoprzecinkowy

Reprezentacja liczb rzeczywistych w zapisie zmiennoprzecinkowym w systemie binarnym to technika, która umożliwia efektywne przechowywanie i manipulację liczbami rzeczywistymi w komputerze. W tej metodzie liczby reprezentowane są za pomocą trzech składników: znaku, mantysy i cechy.

Struktura

Liczby zmiennoprzecinkowe zazwyczaj są przedstawione zgodnie ze standardem IEEE 754, który określa strukturę jak następuje:

• Bit Znaku (ang. Sign Bit): określa znak liczby; \(0\) oznacza dodatni, a \(1\) oznacza ujemny.
• Cecha (ang. Exponent): reprezentuje wykładnik liczby w postaci znormalizowanej; reprezentowana za pomocą \(8\) bitów w pojedynczej precyzji, \(11\) bitów w podwójnej precyzji.
• Mantysa (ang. Fraction): zawiera cyfry znaczące liczby; reprezentowana za pomocą \(23\) bitów w pojedynczej precyzji, \(52\) bitów w podwójnej precyzji.

Konwersja z systemu dziesiętnego

Jak przedstawić liczbę rzeczywistą w systemie binarnym w zapisie zmiennoprzecinkowym opisuje poniższa lista kroków.

1. Określenie znaku: ustalamy znak liczby.
2. Znalezienie reprezentacji binarnych: zamieniamy liczbę na równoważną liczbę binarną (przed i po kropce dziesiętnej).
3. Normalizacja: przesuwamy przecinek binarny tak, aby przed nim była tylko jedna cyfra \(1\). Zapisujemy wykładnik przedstawiający liczbę miejsc, o które przesunięto przecinek.
4. Określenie cechy i mantysy: wyodrębniamy wartość cechy i mantysę ze znormalizowanej formy.

Przykład Konwersji

Załóżmy, że chcemy przedstawić liczbę \(-110.75\) w formie zmiennoprzecinkowej (w standardzie IEEE 754 z pojedynczą precyzją):

1. Znak: liczba jest ujemna, więc bit znaku będzie \(1\).
2. Reprezentacja binarna: \(110.75\) w binarnym to \(110.11_2\).
3. Normalizacja: \(110.11_2\) może być znormalizowane jako \(1.1011_2 \times 2^2\).
4. Cecha i mantysa:
   • Cecha: \(2 + 127\) (wartość bias) = \(129\), co daje nam \(10000001_2\).
   • Mantysa: \(.1011_2\) (pomijając ukrytą jedynkę).

Stąd, \(-110.75\) przedstawiamy jako:

\(1\ 10000001\ 10110000000000000000000\)

Zastosowania i Ważne Kwestie

• Precyzja: reprezentacja zmiennoprzecinkowa może prowadzić do błędów zaokrąglenia, ponieważ nie wszystkie liczby dziesiętne mogą być dokładnie przedstawione w binarnym zapisie zmiennoprzecinkowym.
• Zakres: reprezentacja ta pozwala na przedstawienie bardzo małych i bardzo dużych liczb, co jest szczególnie przydatne w obliczeniach naukowych i inżynieryjnych.
• Szybkość: operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych mogą być wolniejsze w porównaniu z operacjami na liczbach całkowitych, szczególnie w przypadku procesorów z ograniczoną obsługą operacji zmiennoprzecinkowych.

Podsumowanie

Zapis zmiennoprzecinkowy w systemie binarnym jest niezbędnym narzędziem w informatyce, umożliwiającym reprezentację i manipulację liczbami rzeczywistymi w skomputeryzowanych systemach. Choć może prowadzić do błędów zaokrąglenia, jego elastyczność i zakres sprawiają, że jest to dominujący sposób reprezentacji liczb rzeczywistych w komputerach.