Przejdź do treści

Całkowanie numeryczne

Opisy algorytmów

numerical-integration.md

monte-carlo.md

Zadanie 1

Dana jest następująca funkcja:

\[ f(x) = \sin{(\cos{(x)})} \]

Oszacuj wartość całki podanej funkcji na przedziale \([0, 3]\), tzn.:

\[ \int_{0}^{3} \sin{(\cos{(x)})} \ dx \]

Możesz założyć, że:

\[ \int_{0}^{3} \sin{(\cos{(x)})} \ dx \simeq 0.118889545631 \]

Wykorzystaj metodę prostokątów w celu oszacowania wartości całki. Korzystając z arkusza kalkulacyjnego przygotuj symulację wyników algorytmu dla następującej liczby przedziałów:

  • \(10\)
  • \(10^2\)
  • \(10^3\)
  • \(10^4\)
  • \(10^5\)
  • \(10^6\)

Przedstaw na wykresie jak zmienia się dokładność oszacowania wartości całki w zależności od liczby wylosowanych punktów. Dokładność przedstaw jako odłegłość uzyskanego wyniku od oczekiwanej wartości całki podanej wcześniej, czyli jako wartość bezwzględną różnicy pomiędzy tymi wartościami.

Zadanie 2

Wykorzystaj metodę trapezów w celu oszacowania wartości całki. Korzystając z arkusza kalkulacyjnego przygotuj symulację wyników algorytmu dla następującej liczby przedziałów:

  • \(10\)
  • \(10^2\)
  • \(10^3\)
  • \(10^4\)
  • \(10^5\)
  • \(10^6\)

Przedstaw na wykresie jak zmienia się dokładność oszacowania wartości całki w zależności od liczby wylosowanych punktów. Dokładność przedstaw jako odłegłość uzyskanego wyniku od oczekiwanej wartości całki podanej wcześniej, czyli jako wartość bezwzględną różnicy pomiędzy tymi wartościami.

Zadanie 3

Wykorzystaj metodę Monte Carlo w celu oszacowania wartości całki. Korzystając z arkusza kalkulacyjnego przygotuj symulację wyników algorytmu dla następującej liczby wylosowanych punktów:

  • \(10\)
  • \(10^2\)
  • \(10^3\)
  • \(10^4\)
  • \(10^5\)
  • \(10^6\)

Przedstaw na wykresie jak zmienia się dokładność oszacowania wartości całki w zależności od liczby wylosowanych punktów. Dokładność przedstaw jako odłegłość uzyskanego wyniku od oczekiwanej wartości całki podanej wcześniej, czyli jako wartość bezwzględną różnicy pomiędzy tymi wartościami.

Zadanie 4

Utwórz wykres przedstawiający porównanie dokładności wyników z zadań \(1\), \(2\) i \(3\).