Całkowanie numeryczne

Opis problemu

Metoda prostokątów

Implementacja

#include <iostream>

using namespace std;

double f(double x) {
    return x * x + 2 * x;
}

double rectanglesMethod(int a, int b, int n) {
    double width = (b - a) / (double)n;
    double area = 0;
    double currentPoint = a;
    double height;

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        currentPoint += width;
        height = f(currentPoint);
        area += height * width;
    }

    return area;
}

int main() {
    int a = 1;
    int b = 5;
    int n = 100;

    double area = rectanglesMethod(a, b, n);

    cout << area << endl;

    return 0;
}

Opis implementacji

Funkcja f (linia 5) przyjmuje jeden parametr rzeczywisty i jako wynik zwraca liczbę rzeczywistą. Funkcja ta symuluje funkcję matematyczną, której pole pod wykresem chcemy policzyć.

Funkcja rectanglesMethod (linia 9) realizuje algorytm całkowania numerycznego metodą prostokątów i przyjmuje trzy parametry: początek przedziału (a), koniec przedziału (b) oraz liczbę prostokątów (n). Funkcja jako wynik zwraca liczbę rzeczywistą reprezentującą przybliżenie pola pod wykresem funkcji \(f(x)=x^2+2x\) na przedziale \(<a, b>\). Wewnątrz funkcji zaczynamy od policzenia szerokości jednego prostokąta, dzieląc długość przedziału przez liczbę prostokątów (linia 10). Następnie tworzymy zmienną do zapamiętania obliczanego pola (linia 11) oraz zmienną do zapamiętania obecnej pozycji na osi \(x\) (linia 12), a także zmienną do zapamiętywania obliczanych wysokości prostokątów (linia 13). W następnej kolejności przechodzimy pętlą \(n\) razy (linia 15). Wewnątrz pętli przesuwamy obecną pozycję na osi \(x\) w prawo o szerokość jednego prostokąta (linia 16). Następnie obliczamy wysokość prostokąta w obecnym punkcie poprzez obliczenie wartości funkcji w tym miejscu (linia 17). Obliczoną wysokość wykorzystujemy do policzenia pola obecnego prostokąta i dodania go do zliczanego pola pod wykresem funkcji (linia 18). Na koniec funkcji, po wyjściu z pętli, zwracamy obliczone pole pod wykresem funkcji (linia 21).

W części głównej programu przygotowujemy dane do naszego algorytmu: początek przedziału (linia 25), koniec przedziału (linia 26) oraz liczbę prostokątów (linia 27). Następnie wywołujemy funkcję rectanglesMethod z przygotowanymi danymi, a jej wynik zapisujemy w zmiennej area (linia 29). Na koniec wypisujemy wynik na ekranie (linia 31) oraz kończymy działanie programu (linia 33).

Metoda trapezów

Implementacja

#include <iostream>

using namespace std;

double f(double x) {
    return x * x + 2 * x;
}

double trapezesMethod(int a, int b, int n) {
    double height = (b - a)/(double)n;
    double area = 0;
    double currentPoint = a;
    double side1, side2;

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        side1 = f(currentPoint);
        currentPoint += height;
        side2 = f(currentPoint);
        area += ((side1 + side2) * height) / 2.0;
    }

    return area;
}

int main() {
    int a = 1;
    int b = 5;
    int n = 100;

    double area = trapezesMethod(a, b, n);

    cout << area << endl;

    return 0;
}

Opis implementacji

Funkcja f (linia 5) przyjmuje jeden parametr rzeczywisty i jako wynik zwraca liczbę rzeczywistą. Funkcja ta symuluje funkcję matematyczną, której pole pod wykresem chcemy policzyć.

Funkcja trapezesMethod (linia 9) realizuje algorytm całkowania numerycznego metodą trapezów i przyjmuje trzy parametry: początek przedziału (a), koniec przedziału (b) oraz liczbę trapezów (n). Funkcja jako wynik zwraca liczbę rzeczywistą reprezentującą przybliżenie pola pod wykresem funkcji \(f(x)=x^2+2x\) na przedziale \(<a, b>\). Wewnątrz funkcji zaczynamy od policzenia wysokości jednego trapezu, dzieląc długość przedziału przez liczbę trapezów (linia 10). Następnie tworzymy zmienną do zapamiętania obliczanego pola (linia 11) oraz zmienną do zapamiętania obecnej pozycji na osi \(x\) (linia 12), a także zmienne do pamiętania długości podstaw tworzonych trapezów (linia 13). W następnej kolejności przechodzimy pętlą \(n\) razy (linia 15). Wewnątrz pętli obliczamy długość pierwszej podstawy trapezu (linia 16), a następnie przesuwamy obecną pozycję na osi \(x\) w prawo o wysokość jednego trapezu (linia 17). Następnie obliczamy długość drugiej podstawy trapezu w obecnym punkcie poprzez obliczenie wartości funkcji w tym miejscu (linia 18). Obliczone długości podstaw wykorzystujemy do policzenia pola obecnego trapezu i dodania go do zliczanego pola pod wykresem funkcji (linia 19). Na koniec funkcji, po wyjściu z pętli, zwracamy obliczone pole pod wykresem funkcji (linia 22).

W części głównej programu przygotowujemy dane do naszego algorytmu: początek przedziału (linia 26), koniec przedziału (linia 27) oraz liczbę prostokątów (linia 28). Następnie wywołujemy funkcję trapezesMethod z przygotowanymi danymi, a jej wynik zapisujemy w zmiennej area (linia 30). Na koniec wypisujemy wynik na ekranie (linia 32) oraz kończymy działanie programu (linia 34).