Przejdź do treści

Metoda Simpsona

Metoda Simpsona jest bardziej zaawansowaną techniką całkowania numerycznego, która pozwala na uzyskanie dokładniejszych wyników niż metody prostokątów i trapezów. Polega ona na przybliżeniu funkcji za pomocą parabol, a następnie obliczeniu pola pod tymi parabolami.

Wzór

Wzór metody Simpsona dla przedziału \([a, b]\) z \(n\) podprzedziałami (gdzie \(n\) jest parzyste) jest następujący:

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{k=1}^{n/2} f(a + (2k-1)h) + 2 \sum_{k=1}^{n/2-1} f(a + 2kh) + f(b) \right] \]

gdzie:

  • \(h = (b - a) / n\) jest szerokością podprzedziału,
  • \(\sum_{k=1}^{n/2}\) oznacza sumowanie dla \(k\) od \(1\) do \(n/2\).

Podział przedziału

  1. Dzielimy przedział \([a, b]\) na \(n\) równych podprzedziałów, gdzie \(n\) jest parzyste.
  2. Każdy podprzedział ma szerokość \(h\).

Obliczanie całek na kolejnych fragmentach

  1. Obliczamy wartości funkcji \(f(x)\) w punktach \(a, a + h, a + 2h, \dots, b\).
  2. Sumujemy wartości funkcji w punktach końcowych przedziału (\(a\) i \(b\)), punktach środkowych (\(a + (2k-1)h\)) z wagą \(4\) oraz punktach wewnętrznycha (\(a+2kh\)) z wagą \(2\).

Łączenie całego wyniku

Mnożymy sumę przez \(h/3\), aby uzyskać przybliżoną wartość całki oznaczonej.

Błąd dokładności

Błąd przybliżenia wartości całki metodą Simpsona jest rzędu \(O(h^4)\). W praktyce oznacza to, że metoda Simpsona jest bardzo dokładna dla funkcji, które są dobrze przybliżane przez parabolę na małych przedziałach. Jednakże, dla funkcji o dużych zmianach krzywizny, błąd może być większy.

Specyfikacja

Dane

  • \(f(x)\) — funkcja, której wykres nas interesuje
  • \(a\) — początek przedziału, \(a\in\R\)
  • \(b\) — koniec przedziału, \(b\in\R\)
  • \(n\) — parzysta liczba podziałów (im większa, tym większa dokładność), \(n\in\N\)

Wynik

  • \(pole\) — przybliżona wartość pola pod wykresem funkcji \(f(x)\) w przedziale \([a,b]\) (tzn. przybliżona wartość \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\))

Rozwiązanie

Zaczynamy od obliczenia szerokości pojedynczego przedziału jako \(\frac{b-a}{n}\). Jako początkową wartość przybliżonego pola przyjmujemy sumę wartości funkcji na krańcach przedziału, tzn. \(f(a) + f(b)\). Następnie przechodzimy przez kolejne przedziały od \(1\) do \(n-1\). Obliczamy punkt \(x\) jako początek zakresu plus numer przedziału przemnożony przez szerokość przedziału. Dodajemy do obliczanego pola wartość funkcji w punkcie \(x\) z wagą \(2\) lub \(4\), w zależności od parzystości numeru przedziału (\(2\) dla parzystego, \(4\) dla nieparzystego). Po przejściu przez wszystkie przedziały zwracamy jako wynik wartość pola przemnożoną przez szerokość pojedynczego przedziału podzieloną przez trzy.

Pseudokod

funkcja MetodaSimpsona(f, a, b, n):
    1. szer := (b - a) / n
    2. pole := f(a) + f(b)

    3. Dla i od 1 do n-1, wykonuj:
        4. x := a + i * szer
        5. jeżeli i jest parzyste, pole := pole + 2 * f(x)
        6. jeżeli i jest nieparzyste, pole := pole + 4 * f(x)

    7. pole := pole * szer / 3
    8. Zwróć pole

Schemat blokowy

%%{init: {"flowchart": {"curve": "linear"}, "theme": "neutral"} }%%
flowchart TD
    START(["MetodaSimpsona(f, a, b, n)"]) --> K2["szer := (b - a) / n
    pole := f(a) + f(b)"]
    K2 --> K4["Dla i od 1 do n-1, wykonuj"]
    K4 --> K5["x := a + i * szer"]
    K5 --> K6{"i jest parzyste?"}
    K6 -- TAK --> K7["pole := pole + 2 * f(x)"]
    K6 -- NIE --> K8["pole := pole + 4 * f(x)"]
    K7 --> K4
    K8 --> K4
    K4 -->|koniec| K9["pole := pole * szer / 3"]
    K9 --> K10[/Zwróć pole/]
    K10 --> STOP([STOP])

Implementacja

C++

Python