System U2¶

System U2, czyli system uzupełnień do dwóch, pozwala na reprezentację nie tylko dodatnich wartości, ale także ujemnych. W tym systemie szczególne znaczenie ma pierwszy, najbardziej znaczący bit liczby, który jest bezpośrednio powiązany z jej znakiem.

Zacznijmy od cech charakterystycznych dla tego zapisu.

Bit znaku: najbardziej znaczący bit (MSB) służy jako bit znaku: \(0\) oznacza liczbę dodatnią, a \(1\) oznacza liczbę ujemną.
Zakres: zakres liczb, które można reprezentować, wynosi od \(−(2^{n−1})\) do \(2^{n−1}−1\), gdzie \(n\) to liczba bitów użytych do reprezentacji liczby.
Komplement: aby znaleźć reprezentację liczby ujemnej, bierzemy komplement bitowy (negację wszystkich bitów) liczby dodatniej, a następnie dodajemy \(1\).

Konwersja z dziesiętnego¶

Istnieją dwie podstawowe metody konwersji liczby dziesiętnej na system U2.

Przykład¶

Liczba do konwersji: \(-102\)

Docelowa liczba bitów: \(8\)

Metoda I¶

1. Konwertujemy wartość bezwzględną¶

div	mod
102	0
51	1
25	1
12	0
6	0
3	1
1	1
0

\[ 102_{10}=1100110_2 \]

2. Dodajemy brakujące bity¶

\[ 01100110 \]

3. Zamieniamy bity na przeciwne¶

\[ 10011001 \]

4. Dodajemy liczbę 1 do wyniku¶

\[ 10011010 \]

5. Konwersja skończona¶

\[ -102_{10}=10011010_{U2} \]

Metoda II¶

1. Rozwiązujemy równanie¶

\[ -102=x-128 \]

\[ x=26 \]

2. Konwertujemy wynik na system binarny¶

div	mod
26	0
13	1
6	0
3	1
1	1
0

\[ 26_{10}=11010_2 \]

3. Dopisujemy zera i jedynkę z przodu¶

\[ 10011010 \]

4. Konwersja skończona¶

\[ 10011010_{U2} \]

Konwersja do dziesiętnego¶

Konwersja z systemu U2 na system dziesiętny przebiega bardzo podobnie, jak przy konwersji z systemu binarnego. Zasadniczą różnicę stanowi to, w jaki sposób traktujemy pierwszy bit. Ponieważ pierwszy bit powiązany jest ze znakiem liczby, to nie tylko przemnażamy go przez odpowiednią potęgę dwójki, ale także przez \(-1\).

Przykład 1¶

\[ 10011010_{U2}=2^1+2^3+2^4-2^7=2+8+16-128=26-128=-102_{10} \]

Przykład 2¶

\[ 00011010_{U2}=2^1+2^3+2^4=2+8+16=26_{10} \]

Operacje Arytmetyczne¶

W systemie U2, dodawanie i odejmowanie można wykonywać używając zwykłych operacji dodawania binarnego i ignorując wszelkie przepełnienia (nadmiary). Właściwości tej metody pozwalają na prosty sprzętowy realizm operacji matematycznych, co jest kluczowe w systemach cyfrowych.

Podsumowanie¶

System uzupełnień do dwóch jest kluczowym narzędziem w informatyce, ułatwiającym reprezentację i manipulację liczbami ujemnymi w kontekście sprzętowych implementacji operacji arytmetycznych. Jego zrozumienie jest niezbędne dla osób pracujących w dziedzinie systemów cyfrowych i projektowania układów scalonych.