System U2¶

System U2, czyli system uzupełnień do dwóch, pozwala na reprezentację nie tylko dodatnich wartości, ale także ujemnych. W tym systemie szczególne znaczenie ma pierwszy, najbardziej znaczący bit liczby, który jest bezpośrednio powiązany z jej znakiem.

Zacznijmy od cech charakterystycznych dla tego zapisu.

Bit znaku: najbardziej znaczący bit (MSB) służy jako bit znaku: $0$ oznacza liczbę dodatnią, a $1$ oznacza liczbę ujemną.
Zakres: zakres liczb, które można reprezentować, wynosi od $- (2^{n - 1})$ do $2^{n - 1} - 1$ , gdzie $n$ to liczba bitów użytych do reprezentacji liczby.
Komplement: aby znaleźć reprezentację liczby ujemnej, bierzemy komplement bitowy (negację wszystkich bitów) liczby dodatniej, a następnie dodajemy $1$ .

Konwersja z dziesiętnego¶

Istnieją dwie podstawowe metody konwersji liczby dziesiętnej na system U2.

Example¶

Liczba do konwersji: $- 102$

Docelowa liczba bitów: $8$

Metoda I¶

1. Konwertujemy wartość bezwzględną¶

div	mod
102	0
51	1
25	1
12	0
6	0
3	1
1	1
0

102_{10} = 1100110_{2}

2. Dodajemy brakujące bity¶

01100110

3. Zamieniamy bity na przeciwne¶

10011001

4. Dodajemy liczbę 1 do wyniku¶

10011010

5. Konwersja skończona¶

- 102_{10} = 10011010_{U 2}

Metoda II¶

1. Rozwiązujemy równanie¶

- 102 = x - 128

x = 26

2. Konwertujemy wynik na system binarny¶

div	mod
26	0
13	1
6	0
3	1
1	1
0

26_{10} = 11010_{2}

3. Dopisujemy zera i jedynkę z przodu¶

10011010

4. Konwersja skończona¶

10011010_{U 2}

Konwersja do dziesiętnego¶

Konwersja z systemu U2 na system dziesiętny przebiega bardzo podobnie, jak przy konwersji z systemu binarnego. Zasadniczą różnicę stanowi to, w jaki sposób traktujemy pierwszy bit. Ponieważ pierwszy bit powiązany jest ze znakiem liczby, to nie tylko przemnażamy go przez odpowiednią potęgę dwójki, ale także przez $- 1$ .

Example 1¶

10011010_{U 2} = 2^{1} + 2^{3} + 2^{4} - 2^{7} = 2 + 8 + 16 - 128 = 26 - 128 = - 102_{10}

Example 2¶

00011010_{U 2} = 2^{1} + 2^{3} + 2^{4} = 2 + 8 + 16 = 26_{10}

Operacje Arytmetyczne¶

W systemie U2, dodawanie i odejmowanie można wykonywać używając zwykłych operacji dodawania binarnego i ignorując wszelkie przepełnienia (nadmiary). Właściwości tej metody pozwalają na prosty sprzętowy realizm operacji matematycznych, co jest kluczowe w systemach cyfrowych.

Podsumowanie¶

System uzupełnień do dwóch jest kluczowym narzędziem w informatyce, ułatwiającym reprezentację i manipulację liczbami ujemnymi w kontekście sprzętowych implementacji operacji arytmetycznych. Jego zrozumienie jest niezbędne dla osób pracujących w dziedzinie systemów cyfrowych i projektowania układów scalonych.