System binarny¶
System binarny, zwany także systemem dwójkowym, to podstawowy system liczbowy dla komputerów. Liczby w tym systemie reprezentujemy korzystając z dwóch cyfr: \(0\) i \(1\). Pozwala to na stosunkowo łatwą techniczną interpretację przesyłanych danych, np. niskie i wysokie napięcie.
Konwersja z dziesiętnego na binarny¶
Konwersja z systemu dziesiętnego na binarny polega na dzieleniu całkowitym liczby przez \(2\) i zapisywaniu reszt z dzielenia tak długo, aż jako wynik dzielenia otrzymamy \(0\). Następnie otrzymane reszty z dzielenia odczytujemy od końca i w ten sposób otrzymujemy zapis binarny liczby naturalnej. W celu lepszego zrozumienia opisanej procedury przeanalizujmy poniższy przykład.
Przykład¶
Chcemy przekonwertować liczbę \(25\) na system binarny. Na początku dzielimy więc całkowicie \(25\) przez \(2\) otrzymując wynik \(12\) i reszty \(1\). Teraz dzielimy \(12\) całkowicie przez \(2\) otrzymując wynik \(6\) i reszty \(0\). Następnie dzielimy \(3\) otrzymując wynik \(1\) i reszty \(1\). Na koniec pozostało nam podzielić \(1\) co daje nam wynik \(0\) i reszty \(1\). Teraz możemy spisać reszty od końca: \(11001\). W ten sposób otrzymaliśmy zapis binarny liczby \(25\).
Dla ułatwienia tworzymy sobie tabelkę, w której zapisujemy kolejne reszty i wyniki dzielenia.
| div | mod |
|---|---|
| \(25\) | \(1\) |
| \(12\) | \(0\) |
| \(6\) | \(0\) |
| \(3\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(0\) |
Algorytm¶
Opiszemy teraz bardziej formalnie algorytm konwersji liczb naturalnych z systemu dziesiętnego na binarny. Zacznijmy od specyfikacji.
Specyfikacja¶
Dane¶
- \(n\) - liczba naturalna.
Wynik¶
- Reprezentacja liczby \(n\) w systemie binarnym.
Pseudokod¶
Funkcja DziesietnyNaBinarny(n):
1. binarna := ""
2. Dopóki n > 0, wykonuj:
3. reszta := n mod 2
4. Dopisz reszta na początek binarna
5. n := n div 2
6. Zwróc binarna
Konwersja z binarnego na dziesiętny¶
W systemie binarnym, podobnie jak w innych systemach, do każdej cyfry przypisana jest potęga podstawy systemu: w tym wypadku potęga liczby dwa. Ostatniej cyfrze (tzw. najmniej znaczącemu bitowi) przypisujemy potęgę zerową (\(2^0\)). Przedostatniej: pierwszą potęgę (\(2^1\)). Kolejnej: \(2^2\) itd. W celu obliczenia wartości liczby binarnej w systemie dziesiętnym, każdą cyfrę przemnażamy przez przypisaną do niej potęgę dwójki i wynik sumujemy, tak jak pokazano na poniższym przykładzie.