Algorytm Euklidesa¶
Największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych wykorzystywane jest w wielu obliczeniach i własnościach matematycznych. M. in. z tego względu warto wiedzieć, jak w sposób wydajny możemy go policzyć. Do tego posłuży nam algorytm Euklidesa.
Specyfikacja¶
Dane¶
- \(a, b\) — liczby naturalne, większe od zera
Wynik¶
- \(NWD(a, b)\) — największy wspólny dzielnik liczb \(a\) i \(b\)
Przykład¶
Dane¶
Wynik¶
\(NWD(32, 12) = 4\)
Info
Wyjaśnienie
Dzielnikami liczby \(32\) są: \(1, 2, 4, 8, 16, 32\)
Dzielnikami liczby \(12\) są: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Wspólnymi dzielnikami są więc: \(1, 2, 4\)
Największy z nich to właśnie \(4\).
Wersja z odejmowaniem¶
Zasada jest prosta: od większej liczby odejmujemy mniejszą i tak w kółko, aż uzyskamy dwie takie same wartości, które będą naszym wynikiem.
Pseudokod¶
funkcja NWD(a, b):
1. Dopóki a != b, wykonuj:
2. Jeżeli a > b, to:
3. a := a - b
4. W przeciwnym przypadku:
5. b := b - a
6. Zwróć a
Schemat blokowy¶
%%{init: {"flowchart": {"curve": "linear"}, "theme": "neutral"} }%%
flowchart TD
START(["NWD(a, b)"]) --> K1{a != b}
K1 -- PRAWDA --> K2{a > b}
K2 -- PRAWDA --> K3[a := a - b]
K3 --> K1
K2 -- FAŁSZ --> K5[b := b - a]
K5 --> K1
K1 -- FAŁSZ --> K6[/Zwróć a/]
K6 --> STOP([STOP])Wersja z modulo — iteracyjna¶
Odejmowanie możemy zastąpić operacją reszty z dzielenia, która jest dużo wydajniejsza w tym przypadku.
Pseudokod¶
Info
mod oznacza resztę z dzielenia
Schemat blokowy¶
%%{init: {"flowchart": {"curve": "linear"}, "theme": "neutral"} }%%
flowchart TD
START(["NWD(a, b)"]) --> K1{b != 0}
K1 -- PRAWDA --> K2["b2 := b
b := a mod b
a := b2"]
K2 --> K1
K1 -- FAŁSZ --> K5[/Zwróć a/]
K5 --> STOP([STOP])Wersja z modulo — rekurencyjna¶
Pseudokod¶
Schemat blokowy¶
%%{init: {"flowchart": {"curve": "linear"}, "theme": "neutral"} }%%
flowchart TD
START(["NWD(a, b)"]) --> K1{b = 0}
K1 -- PRAWDA --> K2[/Zwróć a/]
K2 --> STOP([STOP])
K1 -- FAŁSZ --> K3[/"Zwróć NWD(b, a mod b)"/]
K3 --> STOP