Problem n królowych¶
Problem \(n\) królowych to jeden z klasycznych problemów algorytmicznych związanych z szachami. Problem brzmi następująco: mając szachownicę \(n\times n\) oraz \(n\) królowych, czy można ustawić wszystkie królowe na szchownicy, tak by żadne dwie się wzajemnie nie atakowały?
Zaczniemy od przytoczenia tanecznego przeszukiwania, które demonstruje działanie algorytmu dla szachownicy \(4\times 4\) oraz \(4\) królowych. Następnie przejdziemy do formalnej specyfikacji.
Taneczne przeszukiwanie¶
Specyfikacja¶
Dane¶
- \(n\) - liczba naturalna, liczba królowych do rozstawienia
Wynik¶
- PRAWDA jeżeli istnieje poprawne rozwiązanie
- FAŁSZ w przeciwnym przypadku
Przykład 1¶
Dane¶
Wynik¶
FAŁSZ
Przykład 2¶
Dane¶
Wynik¶
PRAWDA
Przykładowe ustawienie (H oznacza królową, a - puste pole):
Rozwiązanie¶
Idea naszego rozwiązania jest prosta. Będziemy przechodzić wiersz po wierszu i próbować wszystkie możliwe ustawienia królowych w wierszu. Po ustawieniu królowej w danym wierszu przechodzimy do kolejnego wiersza, gdzie ponownie sprawdzamy wszystkie możliwe ustawienia.
Oczywiście w ten sposób sprawdzalibyśmy wiele błędnych ustawień. Dlatego przed ustawieniem nowej królowej będziemy sprawdzać, czy jest to poprawne ustawienie, tzn. czy to pole nie jest już atakowane przez żadną inną królową.
W celu sprawdzenia, czy dane pole nie jest atakowane przez inną królową, musimy przejść przez wszystkie poprzednie wiersze i sprawdzić, czy królowa ustawiona w danym wierszu nie atakuje obecnego pola w pionie lub na ukos.
Pseudokod¶
funkcja SprawdźPozycję(wiersz, kolumna, pozycje):
1. Dla i := 1 do wiersz - 1, wykonuj:
2. Jeżeli pozycje[i] = kolumna lub kolumna - pozycje[i] = wiersz - i, to:
3. Zwróć FAŁSZ
4. Zwróć PRAWDA
funkcja ZnajdźRozwiązanie(n, wiersz, pozycje):
1. Jeżeli wiersz > n, to:
2. Zwróć PRAWDA
3. Dla kolumna := 1 do n, wykonuj:
4. Jeżeli SprawdźPozycję(wiersz, kolumna, pozycje), to:
5. pozycje[wiersz] := kolumna
6. Jeżeli ZnajdźRozwiązanie(n, wiersz + 1, pozycje), to:
7. Zwróć PRAWDA
8. Zwróć FAŁSZ
Schemat blokowy¶
%%{init: {"flowchart": {"curve": "linear"}, "theme": "neutral"} }%%
flowchart TD
START(["SprawdźPozycję(wiersz, kolumna, pozycje)"]) --> K0[i := 1]
K0 --> K1{i < wiersz}
K1 -- PRAWDA --> K2{"pozycje[i] = kolumna
lub
kolumna - pozycje[i] = wiersz - i"}
K2 -- PRAWDA --> K3[/Zwróć FAŁSZ/]
K2 -- FAŁSZ --> K1i[i := i + 1]
K1i --> K1
K1 -- FAŁSZ --> K4[/Zwróć PRAWDA/]
K3 --> STOP([STOP])
K4 --> STOP%%{init: {"flowchart": {"curve": "linear"}, "theme": "neutral"} }%%
flowchart TD
START(["ZnajdźRozwiązanie(n, wiersz, pozycje)"]) --> K1{wiersz > n}
K1 -- PRAWDA --> K2[/Zwróć PRAWDA/]
K2 --> STOP([STOP])
K1 -- FAŁSZ --> K3p[kolumna := 1]
K3p --> K3{kolumna <= n}
K3 -- PRAWDA --> K4{"SprawdźPozycję(wiersz, kolumna, pozycje)"}
K4 -- PRAWDA --> K5["pozycje[wiersz] := kolumna"]
K5 --> K6{"ZnajdźRozwiązanie(n, wiersz + 1, pozycje)"}
K6 -- PRAWDA --> K7[/Zwróć PRAWDA/]
K7 --> STOP
K6 -- FAŁSZ --> K3i[kolumna := kolumna + 1]
K4 -- FAŁSZ --> K3i
K3i --> K3
K3 -- FAŁSZ --> K8[/Zwróć FAŁSZ/]
K8 --> STOP